МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ

ДИСКРЕТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Лектор – д.ф.-м.н., проф. А.В. Назин, ИПУ РАН, nazine@ipu.rssi.ru

1. Вводная часть: Элементы теории вероятностей и теории случайных процессов

1.1. Вероятность и вероятностное пространство:

Измеримые пространства, измеримые отображения и пространства с мерой.

Вероятностные пространства.

1.2. Случайные величины и векторы

Математическое ожидание.

Функции распределения вероятностей и плотности вероятностей.

Характеристические функции.

Условные вероятности и математические ожидания.

Стохастическая независимость.

Гауссовские векторы и системы.

1.3. Стохастические процессы (в дискретном времени)

Гильбертово пространство .

Процессы второго порядка.

Гауссовские процессы.

Мартингальные последовательности.

Теорема Дуба о сходимости мартингалов.

1.4. Исчисление средних квадратов:

Сходимость в среднеквадратическом.

Непрерывность и дифференцируемость в среднеквадратическом.

Интегрирование в среднеквадратическом.

1.5. Другие виды сходимости случайных последовательностей:

Сходимость по вероятности и по распределению (слабая сходимость).

Сходимость почти наверное, или с вероятностью 1.

Соотношение различных видов сходимости.

2. Основная часть: Задачи и методы идентификации

2.1. Введение:

Описание линейных стационарных стохастических систем.

Понятие модели. Постановка задачи идентификации.

Сведение к задаче минимизации ошибки предсказания.

Классификация методов.

Предельные возможности алгоритмов (неравенство Крамера-Рао).

2.2. Рекуррентная фильтрация.

Постановка задачи. Фильтр Калмана и его свойства. Скалярный случай.

2.3. Параметрические методы идентификации:

Статистический подход и метод наименьших квадратов.

Метод инструментальных переменных.

О сходимости и скорости сходимости оценок.

Рекуррентные методы наименьших квадратов и инструментальных переменных. Связь с фильтром Калмана.

2.4. Метод стохастической аппроксимации:

Задача стохастической оптимизации и уравнение регрессии.

Рекуррентные алгоритмы стохастической аппроксимации.

Условия сходимости и оценка скорости сходимости.

Оптимизация скорости сходимости. Метод с усреднением.

2.5. Непараметрические методы идентификации.

Корреляционный анализ.

Методы спектрального и Фурье анализа.

Ядерные методы оценивания в задаче регресии.

Основная литература:

1. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука. 1980.

2. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

3. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

4. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. - М.: Наука, 1972.

5. Девис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. М.: Наука, 1984.

6. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

Дополнительная литература:

1. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. - М.: ИЛ, 1956.

2. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

3. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981.

4. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука. 1990.

5. Chen H.-F., Guo L. Identification and Stochastic Adaptive Control. Birkhauser Boston, 1991.